QUESTIO 입시연구소
약술형 수리논술 격파 시리즈
2027학년도 대비 인문 B형
가천대학교 2022~2026 기출 모음
수학 해설집
수리논술 기출해설 (2022~2026)
강원호 소장 집필
2027학년도 대비 · questio.co.kr
수학 I
로그
로그의 진수의 조건에 의하여 \(x-6 \gt 0\), \(x^2-16 \gt 0\), \(x+4 \gt 0\)이므로 \(x \gt 6\)이다. \(\log_{\sqrt{3}} (x-6) = \log_3 (x^2-16) + \log_{\frac{1}{3}} (x+4)\)에서 \(\log_3 (x-6)^2 = \log_3 \frac{x^2-16}{x+4}\) 이므로 \(x^2-12x+36 = x-4\), 즉 \((x-8)(x-5)=0\)이다. 따라서 진수 조건을 만족시키는 해는 \(x=8\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(x \gt 6\) |
3점 |
| \(x^2 - 12x+36 = x-4\) (또는 \(x^2-13x+40=0\)) |
4점 |
| \(x=8\) |
3점 |
수학 I
수열의 합
\((x - n^2)\{x - (12n + 13)\} \le 0\) 이고, \(n^2 = 12n + 13\)을 만족하는 자연수는 \(n = 13\)이다. 따라서 \(n=1\)부터 \(n=13\)일 때까지는 \(a_n = 12n + 14 - n^2\)이고, \(n=14\)부터는 \(a_n = n^2 - 12n - 12\)이다. 이를 이용하여 합을 구하면 다음과 같다.\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{13} a_k &= \sum_{k=1}^{13} (12k + 14 - k^2) \\ &= 12 \times \frac{13 \times 14}{2} + 14 \times 13 - \frac{13 \times 14 \times 27}{6} = 455 \end{aligned}\]또한 \(a_{14} = 16\), \(a_{15} = 33\)이므로, 구하고자 하는 값은 \(\sum_{k=1}^{15} a_k = 455 + 16 + 33 = 504\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \((x - n^2)\{x - (12n + 13)\} \le 0\) |
2점 |
| \(\sum_{k=1}^{13} a_k = \sum_{k=1}^{13} (12k + 14 - k^2) = 455\) |
3점 |
| \(\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=14}^{n} (k^2 - 12k - 12)\) (또는 \(\sum_{k=1}^{13} a_k = 49\)) |
3점 |
| \(\sum_{k=1}^{15} a_k = 504\) |
2점 |
수학Ⅱ
함수의 극한
1) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^3}{x^2} = 5\)에서 분자의 최고차항 차수와 계수가 분모와 같아야 하므로, \(f(x)\)는 삼차식이고 최고차항 부분이 \(-x^3 + 5x^2\) 이어야 합니다. 즉, \(f(x) = -x^3 + 5x^2 + ax + b\)로 놓을 수 있습니다. 2) \(\lim_{x \to 0} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\} = 4\)를 정리합니다. \(\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x) = \frac{x^3 - 1}{x} f(x) = (x^3 - 1) \frac{f(x)}{x}\) 이므로, \(\lim_{x \to 0} (x^3 - 1) \frac{f(x)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 4 \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -4\) 입니다. \(f(0) = 0\) 이고 \(f'(0) = -4\) 이므로, \(b = 0\), \(a = -4\) 입니다. 따라서 다항함수는 \(f(x) = -x^3 + 5x^2 - 4x\) 입니다. 3) 구하고자 하는 식에 대입해 극한값을 구합니다. \(\lim_{x \to 1} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\} = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x \cdot f(x)}\) 여기서 \(f(x) = -x(x^2 - 5x + 4) = -x(x-1)(x-4)\) 이고, \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\) 이므로, \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{-x^2(x-1)(x-4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{-x^2(x-4)} = \frac{1+1+1}{-1(1-4)} = \frac{3}{3} = 1\) 입니다. 따라서 최종 구하는 값은 \(1\)입니다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 첫 번째 극한 식을 정리하여 \(f(x) = -x^3 + 5x^2 + ax + b\) 꼴로 수립 |
4점 |
| 두 번째 극한 식을 인수분해하여 \(f(0)=0\), \(f'(0)=-4\)를 통해 \(f(x) = -x^3 + 5x^2 - 4x\) 도출 |
4점 |
| 구하고자 하는 식에 \(f(x)\)를 대입 및 약분하여 극한값 \(1\) 최종 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
미분가능성
1) 상수항이 \(0\)이므로 \(f(0) = 0\) 입니다. 곡선 위의 점 \((0,0)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(0)x\) 가 되고, 이 접선이 점 \(\left(-\frac{1}{3}, -3\right)\) 을 지나므로: \(-3 = f'(0) \left(-\frac{1}{3}\right) \implies f'(0) = 9\) 입니다. 2) 조건 (나)에 의해 \(f'(x) = 3a(x + 3k)(x - k) = 3ax^2 + 6akx - 9ak^2\) 입니다. \(f'(0) = -9ak^2 = 9 \implies ak^2 = -1 \implies a = -\frac{1}{k^2}\) 입니다. \(k\)가 자연수이므로 \(a \lt 0\) 이며, \(f(x)\)는 \(x = -3k\)에서 극솟값, \(x = k\)에서 극댓값을 가집니다. 3) 적분을 통해 삼차함수식을 구하면 \(f(x) = ax^3 + 3akx^2 - 9ak^2 x\) 이며, 극댓값은: \(f(k) = ak^3 + 3ak^3 - 9ak^3 = -5ak^3 = -5\left(-\frac{1}{k^2}\right)k^3 = 5k\) 입니다. 조건 (다)에서 \(t=5\) 주변에서 미분불가능 개수 \(h(t)\)의 좌/우극한과 함숫값의 합이 \(5\)가 되려면 \(5\)가 극댓값이어야 하므로: \(5k = 5 \implies k = 1\)이고 \(a = -1\)입니다. 따라서 삼차함수는 \(f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x\)가 됩니다. 4) 구하고자 하는 함숫값은: \(f(2) = -2^3 - 3(2^2) + 9(2) = -8 - 12 + 18 = -2\) 입니다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 점 \((0,0)\)에서의 접선 정보 및 미분계수를 통해 \(f'(0)=9\) 및 최고차항 계수 \(a = -\frac{1}{k^2}\) 도출 |
4점 |
| 미분불가능점 개수의 합 조건을 해석하여 극댓값이 \(5\)임을 규명하고 \(k=1\) 및 함수식 \(f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x\) 결정 |
4점 |
| 최종 함수값 \(f(2) = -2\) 정확히 연산 |
2점 |
수학Ⅰ
삼각함수와 도형
1) 삼각형의 변을 \(a = \overline{BC}\), \(b = \overline{AC}\), \(c = \overline{AB}\)라 하면, 조건 (가)는 \(a \cos C - c \cos A = b\) 입니다. 삼각형의 제일사인법칙 \(b = a \cos C + c \cos A\) 를 대입하면: \(a \cos C - c \cos A = a \cos C + c \cos A \implies -2c \cos A = 0\) 이고, \(c \gt 0\) 이므로 \(\cos A = 0\) 입니다. 따라서 \(0 \lt A \lt \pi\) 이므로 \(\angle A = 90^\circ\) 입니다. 2) 삼각형 내각의 합 \(A + B + C = \pi \implies A + C = \pi - B\) 이므로, \(\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B\) 입니다. 이를 조건 (나)에 대입하면: \(\frac{1}{2} \sin A = \sin\left(\frac{\pi}{2} - B\right) \sin C = \cos B \sin C\) 입니다. \(A = 90^\circ\) 이므로 \(\sin A = 1\) 이고, \(C = 90^\circ - B \implies \sin C = \cos B\) 가 성립하므로: \(\frac{1}{2} = \cos^2 B \implies \cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle B = 45^\circ\) 입니다. 따라서 \(\angle C = 45^\circ\) 이며, 삼각형 \(ABC\)는 직각이등변삼각형입니다. 3) 빗변의 길이 \(a = 7\) 이므로, 구하고자 하는 변의 길이는: \(\overline{AB} = c = 7 \sin 45^\circ = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) 입니다. 따라서 \(\angle A = 90^\circ\), \(\overline{AB} = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) 입니다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 제일사인법칙을 대입해 식을 정리하고, \(\cos A = 0 \implies \angle A = 90^\circ\) 도출 |
4점 |
| 각도 합 성질 및 삼각함수 공식을 활용해 \(\angle B = \angle C = 45^\circ\) 인 직각이등변삼각형 조건 규명 |
4점 |
| 삼각형 빗변 \(7\)을 이용하여 변의 길이 \(\overline{AB} = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
정적분
1) 부분적분법 \(\int_0^x t f'(t) dt = x f(x) - \int_0^x f(t) dt\) 와 적분 성질 \(x \int_0^x f'(t) dt = x f(x) - x f(0)\) 을 좌변에 대입하여 식을 정리합니다. \(f(x) + (x f(x) - x f(0)) - \left(x f(x) - \int_0^x f(t) dt\right) = g(x) \implies f(x) - x f(0) + \int_0^x f(t) dt = g(x)\) 이며, \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = g(0) = 0\) 임을 알 수 있습니다. 따라서 \(f(x) + \int_0^x f(t) dt = g(x)\) 가 성립합니다. 2) 양변을 미분하면: \(f'(x) + f(x) = g'(x)\) 가 됩니다. \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)이고 원점 대칭인 삼차함수이므로 \(g(x) = x^3 + cx \implies g'(x) = 3x^2 + c\) 입니다. \(f'(x) + f(x) = 3x^2 + c\) 이므로 \(f(x)\)는 최고차항 계수가 3인 이차함수여야 합니다. \(f(x) = 3x^2 + qx\) 로 두면 (\(f(0)=0\)이므로 r=0), \(f'(x) = 6x + q\) 입니다. 대입하면: \((6x + q) + (3x^2 + qx) = 3x^2 + (6 + q)x + q = 3x^2 + c\) 입니다. 계수비교에 의해: \(6 + q = 0 \implies q = -6\) 이고 \(c = q = -6\) 입니다. 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 6x\), \(g(x) = x^3 - 6x\) 가 됩니다. 3) 구하고자 하는 값은: \(f(1) = 3 - 6 = -3\)g(1) = 1 - 6 = -5\(f(1) + g(1) = -3 + (-5) = -8\) 입니다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 부분적분법을 전개해 주어진 적분 관계식을 정리하고 \(f(0)=0\) 도출 |
4점 |
| 식의 양변을 미분하고, \(g(x)\)가 원점 대칭인 기함수 성질을 대입해 \(f(x)=3x^2-6x\), \(g(x)=x^3-6x\) 결정 |
4점 |
| 최종 함숫값의 합 \(f(1) + g(1) = -8\) 연산 |
2점 |
수학 I
지수와 로그
\[y = 25^x - 3 \times 5^{x+2} + 10 = (5^x)^2 - 75 \times 5^x + 10\]
\(5^x = A \ (A \gt 0)\)이라 하자. \(x \in [-1, 2]\)이므로 \(\frac{1}{3} \le A \le 25\)이다.
\[y = \left(A - \frac{75}{2}\right)^2 - \frac{5585}{4}\]
이때 \(\frac{1}{3} \le A \le 25\)에서 이차함수의 대칭축은 \(A = \frac{75}{2} = 37.5\)이므로 주어진 구간의 양 끝점에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
\(A = \frac{1}{3}\)일 때, \(x = \alpha = \log_5 \frac{1}{3}\)에서 최댓값 \(M = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 75\left(\frac{1}{3}\right) + 10 = -\frac{134}{9}\)이다.
\(A = 25\)일 때, \(x = \beta = 2\)에서 최솟값 \(m = (25)^2 - 75(25) + 10 = -1240\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(A = \frac{1}{3}\)일 때 최댓값 \(M = -\frac{134}{9}\) 및 \(\alpha = \log_5 \frac{1}{3}\)를 구함 |
4점 |
| \(A = 25\)일 때 최솟값 \(m = -1240\) 및 \(\beta = 2\)를 구함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
함수의 극한
\[f(x) = \sum_{k=1}^{45} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+k+45} - \sqrt{x+k}} = \sum_{k=1}^{45} \frac{x\sqrt{x}(\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k})}{45}\]
\(g(x) = ax^2 + bx + c\)라 놓으면
\[\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{x^2} \sum_{k=1}^{45} \frac{\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k}}{45\sqrt{x}} \times x^2 = \frac{2025}{2}a\]
이므로 \(\frac{2025}{2}a = 2025 \implies a = 2\)이다.
또한 \(\alpha, \beta\)가 방정식 \(g(x) = 0\)의 서로 다른 두 실근이므로 근과 계수의 관계로부터
\[\alpha + \beta = -\frac{b}{2} = 25 \implies b = -50, \quad \alpha \beta = \frac{c}{2} = 5 \implies c = 10\]
\[g(x) = 2x^2 - 50x + 10 = 2\left(x - \frac{25}{2}\right)^2 - \frac{605}{2}\]
따라서 최솟값은 \(g\left(\frac{25}{2}\right) = -\frac{605}{2}\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 근과 계수의 관계로부터 \(b = -50, c = 10\)을 구함 |
3점 |
| 이차함수 \(g(x)\)의 최솟값 \(-\frac{605}{2}\)를 정확히 구함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
정적분
다항함수 \(f(x)\)는 \(f(-x) = f(x)\)이므로 \(y\)축 대칭(우함수)이고 \(\int_0^1 f(t) dt = a \ (a\text{는 상수})\)라 하면 \(\int_{-1}^1 f(t) dt = 2a\)이다.
따라서 \(f(x) = 5x^4 + 2ax^2 - |a|\)로 나타내어지며
\[a = \int_0^1 (5t^4 + 2at^2 - |a|) dt = \left[ t^5 + \frac{2}{3}at^3 - |a|t \right]_0^1 = 1 + \frac{2}{3}a - |a|\]
1) \(a \ge 0\)인 경우: \(a = 1 + \frac{2}{3}a - a \implies a = \frac{3}{4}\)
\[f(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4} \implies f(1) = \frac{23}{4}\]
2) \(a \lt 0\)인 경우: \(a = 1 + \frac{2}{3}a + a \implies a = -\frac{3}{2}\)
\[f(x) = 5x^4 - 3x^2 - \frac{3}{2} \implies f(1) = \frac{1}{2}\]
따라서 모든 \(f(1)\)의 값의 합은 \(\frac{23}{4} + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a \ge 0\) 및 \(a \lt 0\) 범위를 나누어 \(f(1)\)의 값 \(\frac{23}{4}, \frac{1}{2}\)을 각각 구함 |
3점 |
| 모든 \(f(1)\)의 값의 합 \(\frac{25}{4}\)를 정확히 계산함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
수열
\[\sum_{k=1}^{21} \frac{a_{k+1} - a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \sum_{k=1}^{21} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_{22}} - \sqrt{a_1} = \sqrt{a_{22}} - 1\]
\(50\) 이하의 자연수 \(m\)에 대하여 \(\sqrt{a_{22}} - 1 = m \implies a_{22} = (m+1)^2 = m^2 + 2m + 1\)
공차를 \(d\)라 하면 \(a_{22} = 1 + 21d\)이므로
\[1 + 21d = m^2 + 2m + 1 \implies d = \frac{m(m+2)}{21}\]
공차 \(d = \frac{m(m+2)}{21}\)가 자연수인 \(m\) (\(1 \le m \le 50\))은
\[m = 7, 12, 19, 21, 28, 33, 40, 42, 49 \quad (\text{총 } 9\text{개})\]
따라서 \(A = \{3, 8, 19, 23, 40, 55, 80, 88, 119\}\)이므로 원소의 개수 \(\alpha = 9\), 원소의 합 \(\beta = 435\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(d\)가 자연수가 되는 \(m\)의 값 9개를 찾아 집합 \(A\)를 구함 |
3점 |
| 원소의 개수 \(\alpha = 9\), 원소의 합 \(\beta = 435\)를 정확히 구함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
삼각함수의 활용
사각형 \(ABCD\)가 원에 내접하므로 \(\angle DCB = \pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{3}\)이다.
\(\Delta BCD\)에서 코사인법칙에 의해
\[\overline{BD}^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \cos \frac{\pi}{3} = 49 \implies \overline{BD} = 7\]
\(\Delta ABD\)에서 코사인법칙에 의해
\[\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + 3^2 - 2 \times \overline{AB} \times 3 \times \cos \frac{2\pi}{3} = \overline{AB}^2 + 3\overline{AB} + 9 = 49\]
\[(\overline{AB}+8)(\overline{AB}-5) = 0 \implies \overline{AB} = 5\]
\[\square ABCD = \Delta BAD + \Delta BCD = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{39\sqrt{3}}{4}\]
또한 \(\angle ADC = \theta\)라 두면
\[\square ABCD = \Delta ABC + \Delta ADC = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin(\pi-\theta) + \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin\theta = \frac{49}{2}\sin\theta\]
\[\frac{39\sqrt{3}}{4} = \frac{49}{2}\sin\theta \implies \sin(\angle ADC) = \frac{39\sqrt{3}}{98}\]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 삼각형 넓이의 합으로 \(\square ABCD = \frac{39\sqrt{3}}{4}\)을 구함 |
3점 |
| \(\sin(\angle ADC) = \frac{39\sqrt{3}}{98}\)를 정확히 구함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
다항함수의 미분
\(f(x)\)는 \(x = -1\)과 \(x = 3\)에서 연속이고 미분가능하다.
\[x = -1\text{에서 연속 및 미분가능성: } -a + b = 5, \ a = -4 \implies a = -4, \ b = 1\]
\[x = 3\text{에서 연속 및 미분가능성: } 3c + d = 5, \ 9 + c = 4 \implies c = -5, \ d = 20\]
\[g'(x) = 3ax^2 + 2(b+t)x + c = -12x^2 + 2(t+1)x - 5\]
\(g(x)\)가 극값을 가지려면 이차방정식 \(g'(x) = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 \(D/4 \gt 0\)이어야 한다.
\[\frac{D}{4} = (t+1)^2 - (-12)(-5) = (t+1)^2 - 60 \gt 0\]
따라서 \(t\)의 범위는 \(t \lt -1 - 2\sqrt{15}\) 또는 \(t \gt -1 + 2\sqrt{15}\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 도함수 \(g'(x) = -12x^2 + 2(t+1)x - 5\)를 구함 |
3점 |
| 판별식 \(D/4 \gt 0\)으로부터 \(t \lt -1 - 2\sqrt{15}\) 또는 \(t \gt -1 + 2\sqrt{15}\)를 구함 |
3점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
부등식의 로그 항을 정리하면 다음과 같습니다.
\[\log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) = \log_3 \left( 3^{\frac{2}{3}}n \right) = \frac{2}{3} + \log_3 n\]
\[\log_3 \sqrt[3]{n^2} = \log_3 n^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\log_3 n\]
이를 원래 부등식에 대입하면,
\[x^2 - x\left( \frac{2}{3} + \log_3 n \right) + \frac{2}{3}\log_3 n \lt 0\]
이 식은 다음과 같이 완벽하게 인수분해됩니다.
\[\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \log_3 n\right) \lt 0\]
따라서 이 부등식의 해는 다음과 같습니다.
\[\frac{2}{3} \lt x \lt \log_3 n\]
i) 이 구간을 만족시키는 정수 \(x\)가 오직 \(1\)개 존재하기 위해서는 정수 \(x = 1\)이어야 합니다. 따라서 \(\log_3 n\)은 다음과 같은 범위를 가집니다.
\[1 \lt \log_3 n \le 2\]
각 변에 밑이 \(3\)인 지수를 취하면,
\[3 \lt n \le 9\]
자연수 \(n\)은 \(n = 4, 5, 6, 7, 8, 9\)이므로 총 \(6\)개입니다.
ii) \(\log_3 n \lt x \lt \frac{2}{3}\)인 경우, 정수 \(x\)가 존재하지 않으므로 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수는 \(6\)개입니다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\log_{b} c = \frac{6}{7}\) |
2점 |
| \(64^{\log_{c} b} = 128\) |
4점 |
| \(c^{\log_{b} 128} = 64\) |
4점 |
수학Ⅰ
삼각함수
각변환 공식에 의해 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta\), \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) 이므로, 준 식은 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) - \sin(\pi - \theta) = -\sin\theta - \sin\theta = -2\sin\theta\) 이다. 조건에서 \(-2\sin\theta = \frac{4}{5}\) 이므로 \(\sin\theta = -\frac{2}{5}\) 이다. 구하고자 하는 식을 삼각함수의 음각공식과 관계식을 통해 정리하면, \(\frac{\cos(-\theta)}{\sin\theta} - \frac{\sin(-\theta)}{1 + \cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\cos\theta(1 + \cos\theta) + \sin^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{1}{\sin\theta}\) 이다. 여기에 구한 \(\sin\theta = -\frac{2}{5}\) 의 값을 대입하면 최종 \(\frac{1}{-\frac{2}{5}} = -\frac{5}{2}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) - \sin(\pi - \theta) = -2\sin\theta\) |
3점 |
| \(\sin\theta = -\frac{2}{5}\) |
3점 |
| \(-\frac{5}{2}\) |
4점 |
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
\(g(t) = \begin{cases} 0 & (t \lt 0) \\ 2 & (t = 0) \\ 4 & (0 \lt t \lt 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 2 & (2 \lt t \lt 6) \\ 1 & (t = 6) \\ 0 & (t \gt 6) \end{cases}\) 이다. 함수 \(g(t)\)는 \(0, 2, 6\)에서 불연속이므로 \(a_1 = 0\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 6\) 이다. 따라서 \(f(x) = |4\cos x - 2| = a_1 = 0\) 을 만족하는 \(x\) 는 \(4\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}\) 이다. \(0 \le x \lt 2\pi\) 이므로 \(x = \frac{\pi}{3}\) 또는 \(x = \frac{5\pi}{3}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a_1 = 0\) |
2점 |
| \(a_2 = 2\) |
2점 |
| \(a_3 = 6\) |
2점 |
| \(x = \frac{\pi}{3}\) 또는 \(x = \frac{5\pi}{3}\) |
4점 |
수학Ⅰ
수열
로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 \gt 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① \(x=2\) ]
탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.
두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로,
\[\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\]
이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\)이다. [ ② \(a=4\) ]
정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\)이다.
합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\)이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\)이다. [ ③ \(m=-1\) ]
최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)이다. [ ④ \(M=\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(r^4 = 3\) |
3점 |
| \((S_3 - S_2)^2 = a_3^2 = (a_1 r^2)^2 = a_1^2 r^4\) |
3점 |
| \(225\) |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
조건 (가)에서 \(|f(1)| \ge 0\), \(|f(-1)| \ge 0\)이므로 두 값의 합이 \(0\)이 되려면 \(f(1) = 0\)이고 \(f(-1) = 0\)이어야 한다. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 인수로 \((x-1)\)과 \((x+1)\)을 가진다. 따라서 \(f(x) = (x-a)(x-1)(x+1) = (x-a)(x^2-1) = x^3 - ax^2 - x + a\) (단, \(a\)는 상수)로 수립할 수 있다.
조건 (나)에 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.
\[\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_0^1 = \frac{2}{3}a - \frac{1}{4}\]
조건 (나)가 \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)이므로, \(-1 \le \frac{2}{3}a - \frac{1}{4} \le 1 \implies -\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8} \quad \cdots \text{(①)}\)이다.
이제 구하고자 하는 정적분 값을 \(a\)의 식으로 표현하면 다음과 같다.
\[\int_{-1}^{3} f(x)dx = \int_{-1}^{3} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^3 = 16 - \frac{16}{3}a\]
①번 범위에 따라 \(16 - \frac{16}{3}a\)의 범위를 구하면,
\(a = -\frac{9}{8}\)일 때 최댓값 \(M = 16 - \frac{16}{3}\left(-\frac{9}{8}\right) = 16 + 6 = 22\)이고,
\(a = \frac{15}{8}\)일 때 최솟값 \(m = 16 - \frac{16}{3}\left(\frac{15}{8}\right) = 16 - 10 = 6\)이다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 \(M + m = 22 + 6 = 28\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| ① \(6t^4 - 20t^3 + 12t^2 + (6-m)\) |
2점 |
| ② \(\frac{1}{2}\) |
2점 |
| ③ \(2\) |
2점 |
| ④ \(-10 \lt m \le 6\) (또는 \((-10, 6]\)) |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
\(G(t) = \int tf'(t)\, dt = \int t(3t^2 + 2at + b)\, dt = \int (3t^3 + 2at^2 + bt)\, dt = \frac{3}{4}t^4 + \frac{2}{3}at^3 + \frac{b}{2}t^2 + C\) (\(C\)는 적분상수)라 하자. \(\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2} \int_1^x tf'(t)\, dt = \lim_{x\to 2} \frac{G(x)-G(1)}{x-2} = 20\) 이고, \(G(x)\)는 다항함수이므로 \(x \to 2\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하면 분자도 \(0\)으로 수렴해야 한다. 즉 \(\lim_{x\to 2} (G(x) - G(1)) = G(2) - G(1) = 0 \implies G(2) = G(1)\) 이다. \(G(2) = \frac{3}{4}(16) + \frac{2}{3}a(8) + \frac{b}{2}(4) + C = 12 + \frac{16}{3}a + 2b + C\) 이고, \(G(1) = \frac{3}{4} + \frac{2}{3}a + \frac{b}{2} + C\) 이다. 두 식이 같으므로 \(12 + \frac{16}{3}a + 2b = \frac{3}{4} + \frac{2}{3}a + \frac{b}{2} \implies \frac{14}{3}a + \frac{3}{2}b = -\frac{45}{4} \quad \cdots\cdots \text{①}\) 이다. 또한 \(G(1) = G(2)\) 이므로 구하는 식은 \(\lim_{x\to 2} \frac{G(x)-G(2)}{x-2} = G'(2) = G'(2) = 2(12 + 4a + b) = 20 \implies 4a + b = -2 \quad \cdots\cdots \text{②}\) 이다. ①, ②를 연립하면 \(a = \frac{99}{16}\), \(b = -\frac{107}{4}\) 이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + \frac{99}{16}x^2 - \frac{107}{4}x\) 이고, \(f(4) = 64 + \frac{99}{16}(16) - \frac{107}{4}(4) = 64 + 99 - 107 = 56\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\frac{14}{3}a + \frac{3}{2}b = -\frac{45}{4}\) |
3점 |
| \(4a + b = -2\) |
3점 |
| \(a = \frac{99}{16}\), \(b = -\frac{107}{4}\) |
2점 |
| \(56\) |
2점 |
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
\(y=x^3\) 과 \(y=\sqrt{2x}\) 의 교점의 \(x\)좌표는 다음을 만족한다. \(x^3 = \sqrt{2x}\). 따라서 \(A\)점의 \(x\)좌표는 \(2^{\frac{1}{5}}\) 이다. 따라서 \(A\)점의 \(y\)좌표는 \(2^{\frac{3}{5}}\) 이다. 삼각형 \(AOH\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{AH} = \frac{1}{2} 2^{\frac{1}{5}} 2^{\frac{3}{5}} = 2^{-\frac{1}{5}}\) 이다. 따라서, \(a^2+b^2 = 1+25 = 26\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석 |
3점 |
| 밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개 |
3점 |
| 연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론 |
4점 |
수학Ⅰ
삼각함수
\(6\cos\theta - \frac{1}{\cos\theta} = 1\) 로부터 \(6\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0\) 이다. 따라서 \(\cos\theta = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\) 이다. 주어진 범위를 만족하는 것은 \(\cos\theta = \frac{1}{2}\) 이다. 따라서 \(\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로, \(\sin\theta \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{4}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기 |
3점 |
| 삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석 |
3점 |
| 최종 각도 또는 삼각비의 값 도출 |
4점 |
수학Ⅰ
수열
\(a_7 = 4\) 이므로 홀짝수에 따라 \(a_6 = 1, 8\) 이다. 1. \(a_6 = 1\) 의 경우, 짝수만 가능하므로 \(a_5 = 2\) 이다. \(a_5 = 2\) 의 경우, \(a_4 = 4\) 인 짝수 경우만 존재. \(a_4 = 4\) 는 \(a_3 = 1, 8\) 홀수, 짝수 2가지 경우 존재. 1) \(a_3 = 1\) 일 때, \(a_2 = 2\) 짝수 경우만 존재. \(a_1 = 4\) 이다. 합: \(4+2+1+4+2+1=14\), \(S_6 = 14\) 이다. 2) \(a_3 = 8\) 일 때, \(a_2 = 16\) 짝수 경우만 존재. \(a_1 = 5\) 또는 \(a_1 = 32\) 는 2가지 중 \(5\)가 최소. 합: \(5+16+8+4+2+1=36\), \(S_6 = 36\) 이다. 따라서, \(S_6\)의 최솟값은 ① \(14\) 이다. 2. \(a_6 = 8\) 의 경우, \(a_5 = 16\)만 존재하고, \(a_4 = 5, 32\) 이다. \(a_6 = 8\) 일 때, \(a_5+a_4 \ge 24 \gt \) ① \(14\) 이므로 \(a_6 = 1\) 일 때의 \(S_6\)이 최솟값을 갖는다. 따라서 \(S_6\)이 최솟값을 갖는 수열 \(\{a_n\}\)은 \(4, 2, 1, 4, 2, 1...\) 이므로 ③ \(4, 2, 1\) 이다. 따라서 \(S_{20}\)의 최솟값은 \((4+2+1) \times 6 + (4+2) = \) ④ \(48\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출 |
3점 |
| 수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론 |
3점 |
| 최종 항 또는 합의 값 도출 |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
\(g(x) = -6x + \int_0^1 f(t)\, dt\) 에서 \(\int_0^1 f(t)\, dt = a\) 라 하면, \(g(x) = -6x + a\) 이다. \(f(x) = 3x^2 + 2x \int_0^1 tg(t)\, dt = 3x^2 + 2x \int_0^1 t(-6t+a)\, dt = 3x^2 + 2x\left(-2+\frac{1}{2}a\right)\) 이다. \(\int_0^1 f(t)\, dt = \int_0^1 \left(3t^2 + 2t\left(-2+\frac{1}{2}a\right)\right)\, dt = 1 + \left(-2+\frac{1}{2}a\right) = -1 + \frac{1}{2}a\) 이다. 따라서, \(-1 + \frac{1}{2}a = a \implies a = -2\) 이다. \(f(x) = 3x^2 - 6x\), \(g(x) = -6x - 2\) 이다. 따라서 \(f(x)+g(x) = 3x^2 - 12x - 2 = 0\) 이고, 판별식 \(D \gt 0\) 이므로 두 실근의 합은 \(4\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기 |
3점 |
| 치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정 |
3점 |
| 최종 넓이 또는 적분값 도출 |
4점 |
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
함수 \(f(x)g(x)\) 가 \(x=1\) 에서 연속이 되려면 \(\lim_{x\to 1^+} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^-} f(x)g(x) = f(1)g(1)\) 이어야 한다. \(\lim_{x\to 1^-} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^-} (x^3 + a^2x^2 - 2x)(x^2 - ax) = (1 - a)(a^2 - 1)\) 이고, \(\lim_{x\to 1^+} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^+} (2x+1)(x^2 - ax) = 3(1 - a)\) 이다. \(f(1)g(1) = 3(1-a)\) 이므로, \((1-a)(a^2-1) = 3(1-a) \implies (1-a)(a^2-1) - 3(1-a) = 0 \implies (1-a)(a^2-4) = 0\) 이다. 따라서 \(a = -2\), \(a = 1\), \(a = 2\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석 |
3점 |
| 조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정 |
3점 |
| 정답 계산 및 최종 답안 서술 |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\)이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\)이다. 따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\)이고 \(y\)절편은 \(a^2 - 9\)이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\)이다. 따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x)dx - \text{(삼각형의 넓이)}\)로 계산할 수 있다.
\[S = -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4}\]
따라서 넓이 \(S\)의 \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 최솟값을 구하기 위해 미분하면,
\[S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\]
이므로, \(a=1\)에서 극소이자 최솟값 \(S=1\)을 가진다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 함수 미분하기 및 도함수 조건 설정 |
3점 |
| 접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산 |
3점 |
| 최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산 |
4점 |
수학Ⅱ
적분
두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)는 역함수 관계이므로 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 \(f(x) = x\)인 방정식 \(ax^2 = x\)의 해와 같으므로, \(x \ge 0\) 범위에서 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x = \frac{1}{a}\) 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 \(S\)는 \(y=x\)와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. \(S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx\) ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. \(S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}\) ([③]) 넓이 \(S = \frac{3}{4}\) 이므로, \(\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}\) (\(0 \lt a \lt 1\)) 이다. ([④])
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 조건 해석 및 수식 초기화 |
2점 |
| 피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기 |
4점 |
| 치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정 |
2점 |
| 최종 넓이 또는 적분값 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
지수 로그
\(A \subset B\) 이므로 \(3\log_2 a - 2\log_2 b = 1\) 이다. 이를 정리하면 \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}\) 이다.또한 주어진 조건에서 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 이다.1) \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때, \(b = a^{\frac{3}{2}}\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3\) 이므로 \(a = 0\) 이 되어 \(a \gt 0, a \ne 1\) 조건을 만족하지 않는다.2) \(\log_a b = 2\) 일 때, \(b = a^2\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4\) 이다. \(a \ne 0\) 이므로 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}\) 이다. 이때 \(b = a^2 = \frac{1}{4}\) 이다.따라서 구하고자 하는 값은 \(ab^2 = a \cdot a^4 = a^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\) 이다.(참고: \(2\log_a 2 + 2\log_a b = 3\) 을 계산하여 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 의 결과를 도출할 수도 있다.)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1\) 또는 \(a^3 = 2b^2\) 도출 |
2점 |
| \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때 \(a=0\)으로 불만족 판정, \(\log_a b = 2\) 일 때 \(a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{4}\) 도출 |
3점 |
| \(ab^2 = \frac{1}{32}\) 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
삼각함수
\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.
\[\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} = \frac{3k+2}{k}\]
양변에 \(k^2\)을 곱하여 정리하면, \(k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0\) 이므로, \(k=2\) 또는 \(k=-1\) 이다.
1) \(k=2\) 이면 \[\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} \gt 1\] 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.
2) \(k=-1\) 이면 \[\sin\theta + \cos\theta = -1\] 이고 \[\sin\theta\cos\theta = 0\] 이다. \[0 \le \theta \le \pi\] 에서 이를 만족하는 \(\theta\)는 \(\theta = \pi\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 수립 |
1점 |
| \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 관계식 이용 |
2점 |
| \(\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right)\) 방정식 정리 |
4점 |
| \(k = 2\) 또는 \(k = -1\) 도출 |
1점 |
| \(k = 2\) 일 때 \(\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} \gt 1\) 이므로 부적합 판정 |
2점 |
| \(k = -1\) 일 때 \(\theta = \pi\) 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
다양한 수열의 규칙
수열 \(\{a_n\}\)의 \(a_4 = \alpha, a_5 = -\alpha\)라 할 경우 다음과 같다.\(a_3 = a_4 - a_5 = \alpha - (-\alpha) = 2\alpha\)\(a_2 = a_3 - a_4 = 2\alpha - \alpha = \alpha\)\(a_1 = a_2 - a_3 = \alpha - 2\alpha = -\alpha\)\(a_6 = a_5 - a_4 = -\alpha - \alpha = -2\alpha\)\(a_7 = a_6 - a_5 = -2\alpha - (-\alpha) = -\alpha\)결국 \(a_n = a_{n+6}\) 이며, 수열의 6개 항의 합은 \(\sum_{k=1}^6 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = -\alpha + \alpha + 2\alpha + \alpha - \alpha - 2\alpha = 0\) 이다.이때 \(S_1 = -\alpha \lt 0\) 이고 (단, 첫째항조건에서 \(S_1 \gt 0\) 이므로 \(\alpha \lt 0\)), \(S_1 \gt 0, S_2 = 0, S_3 \lt 0, S_4 \lt 0, S_5 \lt 0, S_6 = 0\) 이므로, \(S_n \lt 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)은 한 주기(6개)마다 3개(\(n=3, 4, 5\))씩 존재한다. 따라서 구하고자 하는 \(n\)의 개수는 \(50 \times 3 = 150\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 수열 \(a_n\)의 관계식을 이용하여 각 항을 \(a_4=\alpha, a_5=-\alpha\)로 표현 |
3점 |
| \(a_{n+6} = a_n\) 주기성 및 한 주기(6개)의 합이 \(0\)임을 확인 |
2점 |
| \(S_1 = a_1 \gt 0\) 으로부터 \(\alpha \lt 0\) 판정 |
3점 |
| 한 주기 내에서 \(S_n \lt 0\)을 만족하는 \(n\)의 조건 (\(n=3, 4, 5\)) 도출 |
3점 |
| \(300\) 이하의 자연수 중 만족하는 \(n\)의 개수 \(150\)개 최종 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
극한
\(x=1\)에서 함수 \(f(x)\)가 연속이 되기 위해서는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) 가 성립해야 한다.극한값 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}\)가 존재하므로, \(x \to 1^+\)일 때 (분자) \(\to 0\) 이어야 한다. 즉, \(\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}\) 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.\(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)이때 \(\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) 이므로, \(1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a=\sqrt{2}\) 또는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) |
3점 |
| \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) 또는 \(f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) |
3점 |
| \(b=-\frac{1}{2}\) |
2점 |
수학Ⅱ
미분
두 점 P, Q의 위치의 차는 \(x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2\) 이므로, 두 점이 만나는 시각은 \(t=0\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_b = 3\) 이다.한편, 두 점 P, Q의 시각 \(t\)에서의 속도는 각각 다음과 같다.\(v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\)\(v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\)두 점 of 속도가 같아지는 조건 \(v_1(t) - v_2(t) = 0\) 에서,\(v_1(t) - v_2(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0\)이를 만족하는 시각은 \(t=1\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_a = 1\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 속도 \(v_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\), \(v_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\) 도출 |
3점 |
| \(v_1(t) = v_2(t)\) 로부터 두 속도가 같아지는 시각 \(t_a = 1\) 도출 |
3점 |
| \(x_1(t) = x_2(t)\) 로부터 두 점이 다시 만나는 시각 \(t_b = 3\) 도출 |
4점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr